实变函数笔记20250307

命题

所有的可测集形成一个σ\sigma-代数,称为Lebesgue代数,记作m,且真包含Borel代数

命题

A,EA,E\forall A, E\subset A, E 可测,m(E)<,, m^*(E)<\infty, 则有m(AE)=m(A)m(E)m^*(A\setminus E)=m^*(A)-m^*(E)

命题

每个区间均可测

推论

所有Borel集均可测

可测集的外逼近与内逼近

EE可测
ϵ>0,\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exist开集UE, s.t. m(UE)<ϵU\supseteq E,\ s.t.\ m^*(U\setminus E)<\epsilon
Gδ\Leftrightarrow \exist G_\delta 集合 GE, s.t. m(GE)=0G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G\setminus E)=0
ϵ>0,\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exist闭集KE, s.t. m(EK)<ϵK\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus K)<\epsilon
Fσ\Leftrightarrow \exist F_\sigma 集合 FE, s.t. m(EF)=0F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus F)=0

等测包与等测核

  1. E\forall E(不要求可测)Gδ\exist G_\deltaGE, s.t. m(G)=m(E)G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G)=m^*(E),此时GG叫做EE的等测包,且能推出当EE不可测时,m(GE)>0m^*(G\setminus E)>0
  2. EE 可测Fσ\Leftrightarrow \exist F_\sigmaFE, s.t. m(F)=m(E)F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(F)=m^*(E),此时GG叫做EE的等测核

Lebesgue 测度定义

限制在 Lebesgue 代数上的外测度称为 Lebesgue 测度,记作m(E)m(E)

对称差定义

AB:=(AB)(BA)A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) 称为 AABB 的对称差

定理

E\forall E 可测且 m(E)<, ϵ>0, m(E)<\infty,\ \forall \epsilon>0,\ \exist两两不交的开区间族{Ik}k=1n, s.t. m(EU)<ϵ,U=k=1nIk\{I_k\}_{k=1}^n,\ s.t.\ m(E\triangle U)<\epsilon,U=\bigcup_{k=1}^n I_k

升列与降列

{Ei}i=1\{E_i\}_{i=1}^{\infty}i\forall i,总有 EiEi+1E_i\subseteq E_{i+1} 时,我们称其为升列;i\forall i,总有 EiEi+1E_i\supseteq E_{i+1} 时,我们称其为降列

命题

  1. {Ei}i=1\{E_i\}_{i=1}^{\infty}均可测且为升列,则有m(i=1Ei)=limim(Ei)m(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)
  2. {Ei}i=1\{E_i\}_{i=1}^{\infty}均可测且为降列,并且m(E1)<m(E_1)<\infty,则有m(i=1Ei)=limim(Ei)m(\bigcap_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)

推论

{Ei}\{E_i\} 可测 m(lim infEi)lim infm(Ei)\Rightarrow m(\liminf E_i)\leq \liminf m(E_i)

几乎处处定义

如果一个性质在可测集EE上几乎处处成立,是指其在EE0E\setminus E_0上成立,E0EE_0\subset Em(E)=0m(E)=0,记作a.e.a.e.

Borel-Cantelli 引理

{Ei}i=1\{E_i\}_{i=1}^{\infty}可测,i=1m(Ei)<\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i)<\infty,则对a.e. xRa.e.\ x\in\R,其仅属于至多有限个EiE_i

引理

ERE\subseteq \R为有界可测集,若存在有界可数集Λ s.t. {E+λ}λΛ\Lambda\ s.t.\ \{E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}两两不交,则有m(E)=0m(E)=0

有理等价定义

xyQx-y\in \mathbb Q,则称 xxyy 有理等价

不可测集的存在性

ER,F\forall E\in R, \mathcal FEE 上所有有理等价类的集族
由选择公理知 CEE,CE\exist C_E\subset E, C_E 由每一等价类中一代表元构成
可知

  1. c,dCE,dc∉Q\forall c,d\in C_E, d-c\not\in\mathbb Q,即ΛQ,{CE+λ}λΛ\forall \Lambda\subset\mathbb Q, \{C_E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}两两不交
  2. xE,cCE\forall x\in E,\exists c\in C_EqQ, s.t. x=c+qq\in\mathbb Q,\ s.t.\ x=c+q

此时 CEC_E 不可测

Vitali 定理

\forall 非零测集 ERE\subseteq R,均存在不可测集合AEA\subseteq E