实变函数笔记20250307

命题

所有的可测集形成一个σ−\sigma-代数，称为Lebesgue代数，记作m，且真包含Borel代数

命题

∀A,E⊂A,E\forall A, E\subset A, E 可测,m∗(E)<∞,, m^*(E)<\infty, 则有m∗(A∖E)=m∗(A)−m∗(E)m^*(A\setminus E)=m^*(A)-m^*(E)

命题

每个区间均可测

推论

所有Borel集均可测

可测集的外逼近与内逼近

EE可测
⇔∀ϵ>0,∃\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exist开集U⊇E, s.t. m∗(U∖E)<ϵU\supseteq E,\ s.t.\ m^*(U\setminus E)<\epsilon
⇔∃Gδ\Leftrightarrow \exist G_\delta 集合 G⊇E, s.t. m∗(G∖E)=0G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G\setminus E)=0
⇔∀ϵ>0,∃\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exist闭集K⊆E, s.t. m∗(E∖K)<ϵK\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus K)<\epsilon
⇔∃Fσ\Leftrightarrow \exist F_\sigma 集合 F⊆E, s.t. m∗(E∖F)=0F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus F)=0

等测包与等测核

  1. ∀E\forall E（不要求可测）∃Gδ\exist G_\delta集G⊇E, s.t. m∗(G)=m∗(E)G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G)=m^*(E)，此时GG叫做EE的等测包，且能推出当EE不可测时，m∗(G∖E)>0m^*(G\setminus E)>0
  2. EE 可测⇔∃Fσ\Leftrightarrow \exist F_\sigma集F⊆E, s.t. m∗(F)=m∗(E)F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(F)=m^*(E)，此时GG叫做EE的等测核

Lebesgue 测度定义

限制在 Lebesgue 代数上的外测度称为 Lebesgue 测度，记作m(E)m(E)

对称差定义

A△B:=(A∖B)∪(B∖A)A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) 称为 AA 与 BB 的对称差

定理

∀E\forall E 可测且 m(E)<∞, ∀ϵ>0, ∃m(E)<\infty,\ \forall \epsilon>0,\ \exist两两不交的开区间族{Ik}k=1n, s.t. m(E△U)<ϵ,U=⋃k=1nIk\{I_k\}_{k=1}^n,\ s.t.\ m(E\triangle U)<\epsilon,U=\bigcup_{k=1}^n I_k

升列与降列

{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^{\infty} 当 ∀i\forall i，总有 Ei⊆Ei+1E_i\subseteq E_{i+1} 时，我们称其为升列；∀i\forall i，总有 Ei⊇Ei+1E_i\supseteq E_{i+1} 时，我们称其为降列

命题

  1. 若{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^{\infty}均可测且为升列，则有m(⋃i=1∞Ei)=lim⁡i→∞m(Ei)m(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)
  2. 若{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^{\infty}均可测且为降列，并且m(E1)<∞m(E_1)<\infty，则有m(⋂i=1∞Ei)=lim⁡i→∞m(Ei)m(\bigcap_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)

推论

{Ei}\{E_i\} 可测 ⇒m(lim inf⁡Ei)≤lim inf⁡m(Ei)\Rightarrow m(\liminf E_i)\leq \liminf m(E_i)

几乎处处定义

如果一个性质在可测集EE上几乎处处成立，是指其在E∖E0E\setminus E_0上成立，E0⊂EE_0\subset E且m(E)=0m(E)=0，记作a.e.a.e.

Borel-Cantelli 引理

{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^{\infty}可测，∑i=1∞m(Ei)<∞\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i)<\infty，则对a.e. x∈Ra.e.\ x\in\R，其仅属于至多有限个EiE_i

引理

设E⊆RE\subseteq \R为有界可测集，若存在有界可数集Λ s.t. {E+λ}λ∈Λ\Lambda\ s.t.\ \{E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}两两不交，则有m(E)=0m(E)=0

有理等价定义

若 x−y∈Qx-y\in \mathbb Q，则称 xx 与 yy 有理等价

不可测集的存在性

∀E∈R,F\forall E\in R, \mathcal F 是 EE 上所有有理等价类的集族
由选择公理知 ∃CE⊂E,CE\exist C_E\subset E, C_E 由每一等价类中一代表元构成
可知

  1. ∀c,d∈CE,d−c∉Q\forall c,d\in C_E, d-c\not\in\mathbb Q，即∀Λ⊂Q,{CE+λ}λ∈Λ\forall \Lambda\subset\mathbb Q, \{C_E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}两两不交
  2. ∀x∈E,∃c∈CE\forall x\in E,\exists c\in C_E 和 q∈Q, s.t. x=c+qq\in\mathbb Q,\ s.t.\ x=c+q

此时 CEC_E 不可测

Vitali 定理

∀\forall 非零测集 E⊆RE\subseteq R，均存在不可测集合A⊆EA\subseteq E