实变函数笔记20250307
命题
所有的可测集形成一个σ−代数,称为Lebesgue代数,记作m,且真包含Borel代数
命题
∀A,E⊂A,E 可测,m∗(E)<∞, 则有m∗(A∖E)=m∗(A)−m∗(E)
命题
每个区间均可测
推论
所有Borel集均可测
可测集的外逼近与内逼近
E可测
⇔∀ϵ>0,∃开集U⊇E, s.t. m∗(U∖E)<ϵ
⇔∃Gδ 集合 G⊇E, s.t. m∗(G∖E)=0
⇔∀ϵ>0,∃闭集K⊆E, s.t. m∗(E∖K)<ϵ
⇔∃Fσ 集合 F⊆E, s.t. m∗(E∖F)=0
等测包与等测核
- ∀E(不要求可测)∃Gδ集G⊇E, s.t. m∗(G)=m∗(E),此时G叫做E的等测包,且能推出当E不可测时,m∗(G∖E)>0
- E 可测⇔∃Fσ集F⊆E, s.t. m∗(F)=m∗(E),此时G叫做E的等测核
Lebesgue 测度定义
限制在 Lebesgue 代数上的外测度称为 Lebesgue 测度,记作m(E)
对称差定义
A△B:=(A∖B)∪(B∖A) 称为 A 与 B 的对称差
定理
∀E 可测且 m(E)<∞, ∀ϵ>0, ∃两两不交的开区间族{Ik}k=1n, s.t. m(E△U)<ϵ,U=⋃k=1nIk
升列与降列
{Ei}i=1∞ 当 ∀i,总有 Ei⊆Ei+1 时,我们称其为升列;∀i,总有 Ei⊇Ei+1 时,我们称其为降列
命题
- 若{Ei}i=1∞均可测且为升列,则有m(⋃i=1∞Ei)=limi→∞m(Ei)
- 若{Ei}i=1∞均可测且为降列,并且m(E1)<∞,则有m(⋂i=1∞Ei)=limi→∞m(Ei)
推论
{Ei} 可测 ⇒m(liminfEi)≤liminfm(Ei)
几乎处处定义
如果一个性质在可测集E上几乎处处成立,是指其在E∖E0上成立,E0⊂E且m(E)=0,记作a.e.
Borel-Cantelli 引理
{Ei}i=1∞可测,∑i=1∞m(Ei)<∞,则对a.e. x∈R,其仅属于至多有限个Ei
引理
设E⊆R为有界可测集,若存在有界可数集Λ s.t. {E+λ}λ∈Λ两两不交,则有m(E)=0
有理等价定义
若 x−y∈Q,则称 x 与 y 有理等价
不可测集的存在性
∀E∈R,F 是 E 上所有有理等价类的集族
由选择公理知 ∃CE⊂E,CE 由每一等价类中一代表元构成
可知
- ∀c,d∈CE,d−c∈Q,即∀Λ⊂Q,{CE+λ}λ∈Λ两两不交
- ∀x∈E,∃c∈CE 和 q∈Q, s.t. x=c+q
此时 CE 不可测
Vitali 定理
∀ 非零测集 E⊆R,均存在不可测集合A⊆E